3 maneres de multiplicar els binomis

Els binomis són petites expressions matemàtiques formades per un terme variable (x, a, 3x, 4t, 1090y) sumat o restat per un terme constant (1, 3, 110, etc.). Els binomis sempre contenen només 2 termes, però són els components bàsics d’equacions molt més grans i complexes conegudes com a polinomis, cosa que els fa increïblement importants per aprendre bé. Aquesta lliçó tractarà diversos tipus de multiplicació binomial, però també es poden aprendre tots per separat.

Passos

Mètode 1 de 3: Multiplicació de dos binomis

Pas 1. Comprendre el vocabulari matemàtic i els tipus de preguntes

Serà impossible resoldre les preguntes de la propera prova si no sabeu què us pregunten. Per sort, la terminologia no és increïblement dura:

Condicions:

Un terme és simplement una part de l’equació que s’afegeix o resta. Pot ser una constant, variable o ambdues coses. Per exemple, a 12 + 13x + 4x², els termes són 12, 13x, i 4x².
Binomi:

Aquesta és només una manera complicada de dir "una expressió amb dos termes", com ara x + 3 o bé x⁴ - 3x.
Poders:

això fa referència a un exponent d'un terme. Per exemple, podríem dir que x² és "x a la segona potència".
Qualsevol pregunta que us demani "Trobeu els termes de dos binomis (x + 3) (x + 2)", "cerqueu el producte de dos binomis" o "amplieu els dos binomis" us demana que multipliqueu els binomis.

Pas 2. Apreneu les sigles FOIL per recordar l’ordre de la multiplicació binomial

FOIL és una guia senzilla per multiplicar dos binomis. FOIL significa l'ordre que necessiteu per multiplicar les parts dels binomis junts: F és per Primer, O és per Exterior, Estic per Interior, i L és per a Darrer.

Els noms fan referència a l’ordre en què s’escriuen els termes. Diguem que estem multiplicant els binomis (x + 2) i (x + 5). Els termes serien:

Primer:

x i x
Exterior:

x i 5
Interior:

2 i x
Darrer:

2 & 5

Pas 3. Multipliqueu la PRIMERA part de cada parèntesi

Aquesta és la "F" de FOIL. En el nostre exemple, (x + 2) (x + 5), els primers termes són "x" i "x". Multipliqueu-los junts i anoteu la resposta: "x²."

Primer trimestre:

x * x = x²

Pas 4. Multipliqueu les parts OUTER de cada parèntesi

Aquests són dos "extrems" externs del nostre problema. Per tant, al nostre exemple (x + 2) (x + 5), serien "x" i "5". Junts fan "5x"

Terme exterior:

x * 5 = 5x

Pas 5. Multipliqueu les parts INTERIORS de cada parèntesi

Els dos números més propers al centre seran el vostre terme interior. Per a (x + 2) (x + 5), això significa que multipliqueu "2" i "x" per obtenir "2x".

Termini interior:

2 * x = 2x

Pas 6. Multipliqueu les ÚLTIMES parts de cada parèntesi

Això no significa els dos darrers números, sinó l'últim número de cada parèntesi. Per tant, per a (x + 2) (x + 5), multiplicem el "2" i el "5" per obtenir "10".

Últim trimestre:

2 * 5 = 10

Pas 7. Afegiu tots els termes nous

Combineu els termes afegint-los junts per crear una nova expressió més gran. A partir del nostre exemple anterior, obtenim l’equació:

x² + 5x + 2x + 10

Pas 8. Simplifiqueu termes semblants

Els termes semblants són parts de l’equació que tenen la mateixa variable i potència. En el nostre exemple, els termes 2x i 5x comparteixen una x i es poden afegir junts. No hi ha altres termes iguals, de manera que es mantenen.

Resposta final: (x + 2) (x + 5) = x² + 7x + 10
Nota avançada: per aprendre com funcionen els termes, recordeu els conceptes bàsics de la multiplicació. 3 * 5, per exemple, significa que afegiu tres cinc per obtenir 15 (5 + 5 + 5). A la nostra equació, tenim 5 * x (x + x + x + x + x) i 2 * x (x + x). Si afegim totes les "x" s de l'equació obtenim set "x" s, o 7x.

Pas 9. Recordeu que els nombres restats són negatius

Quan es resta un número, és el mateix que afegir un número negatiu. Si oblideu mantenir el signe menys durant els càlculs, acabareu tenint una resposta equivocada. Prenem l'exemple (x + 3) (x-2):

Primer:

x * x = x²
Exterior:

x * -2 = - 2x
Interior:

3 * x = 3x
Darrer:

3 * -2 = - 6
Afegiu tots els termes junts: x² - 2x + 3x - 6
Simplifiqueu la resposta final: x² + x - 6

Mètode 2 de 3: multiplicar més de dos binomis

Pas 1. Multiplicar els dos primers binomis, ignorant temporalment el tercer

Prenem l’exemple (x + 4) (x + 1) (x + 3). Hem de multiplicar els binomis d’un en un, de manera que multipliqueu els dos per FOIL o per distribució de termes. Multiplicant els primers dos, (x + 4) i (x + 1) amb FOIL quedaria així:

Primer:

x * x = x²
Exterior:

1 * x = x
Interior:

4 * x = 4x
Darrer:

1*4 = 4
Combineu termes: x² + x + 4x + 4
(x + 4) (x + 1) = x² + 5x +4

Pas 2. Combineu el binomi sobrant amb la vostra nova equació

Ara que s'ha multiplicat part de l'equació, podeu gestionar el binomi sobrant. A l'exemple, (x + 4) (x + 1) (x + 3), el terme sobrant era (x + 3). Torneu a col·locar-lo juntament amb la nova equació, donant-vos el següent: (x + 3) (x² + 5x + 4).

Pas 3. Multiplicar el primer número del binomi pels tres números de l’altre parèntesi

Es tracta de distribució de termes. Per tant, per a l’equació (x + 3) (x² + 5x + 4), heu de multiplicar la primera x per les tres parts del segon parèntesi, "x², "" 5x "i" 4."

(x * x²) + (x * 5x) + (x * 4) = x³ + 5x² + 4x
Escriviu aquesta resposta i deseu-la per a més endavant.

Pas 4. Multipliqueu el segon número del binomi pels tres números de l’altre parèntesi

Pren l’equació, (x + 3) (x² + 5x + 4). Ara, multipliqueu la segona part del binomi per les tres parts dels altres parèntesis, "x², "" 5x "i" 4."

(3 * x²) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x² + 15x + 12
Escriviu aquesta resposta al costat de la primera resposta.

Pas 5. Sumeu les dues respostes de la multiplicació

Heu de combinar les respostes dels dos passos anteriors, ja que conformen les dues parts de la vostra resposta final.

x³ + 5x² + 4x + 3x² + 15x + 12

Pas 6. Simplifiqueu l'equació per obtenir la vostra resposta final

Qualsevol terme "m'agrada", termes que comparteixen la mateixa variable i potència (com ara 5x² i 3x²), es poden afegir per simplificar la resposta.

5x² i 3x² convertir-se en 8x²
4x i 15x passen a ser 19x
(x + 4) (x + 1) (x + 3) = x³ + 8x² + 19x + 12

Pas 7. Utilitzeu sempre la distribució per afrontar problemes de multiplicació més grans

Com que podeu utilitzar la distribució de termes per multiplicar equacions de qualsevol longitud, ara teniu les eines necessàries per resoldre problemes més grans, com ara (x + 1) (x + 2) (x + 3). Multiplicar dos binomis junts mitjançant la distribució de termes o FOIL, i després utilitzar la distribució de termes per multiplicar el binomi final pels dos primers. A l'exemple següent, FOIL (x + 1) (x + 2), després distribuïm els termes amb (x + 3) per obtenir la resposta final:

(x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
(x + 1) (x + 2) = x² + 3x + 2
(x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x² + 3: + 2) * (x + 3)
(x² + 3x + 2) * (x + 3) = x³ + 3x² + 2x + 3x² + 9x + 6
Simplifiqueu la resposta final: x³ + 6x² + 11x + 6

Mètode 3 de 3: quadrant binomis

Pas 1. Saber configurar "fórmules generals

"Les fórmules generals us permeten connectar els vostres números en lloc de calcular FOIL cada vegada. Binomis que augmenten a la segona potència, com ara (x + 2)², o la tercera potència, com (4y + 12)³, es pot encaixar fàcilment en una fórmula preexistent, cosa que facilita la resolució. Per trobar la fórmula general, substituïm tots els nombres per variables. Aleshores, al final, podem tornar a connectar els nostres números per obtenir la nostra resposta. Comenceu per l'equació (a + b)², on:

a significa el terme variable (és a dir. 4y - 1, 2x² + 3, etc.) Si no hi ha cap número, llavors a = 1, ja que 1 * x = x.
b significa la constant que s’afegeix o resta (és a dir, x + 10, t - 12).

Pas 2. Sabeu que es poden reescriure binomis quadrats

(a + b)² pot semblar més complicat que el nostre exemple anterior, però recordeu que el quadrat d’un número és només multiplicar-lo per si mateix. Per tant, podem reescriure l’equació per semblar més familiar:

(a + b)² = (a + b) (a + b)

Pas 3. Utilitzeu FOIL per resoldre la nova equació

Si fem servir paper d'alumini en aquesta equació, obtindrem una fórmula general que sembla la solució a qualsevol multiplicació binomial. Recordeu que en la multiplicació l’ordre que multipliqueu no té importància.

Torna a escriure com (a + b) (a + b).
Primer:

a * a = a²
Interior:

b * a = ba
Exterior:

a * b = ab
Darrer:

b * b = b².
Afegiu els termes nous: a² + ba + ab + b²
Combineu termes semblants: a² + 2ab + b²
Nota avançada: els components i els radicals es consideren operacions hiper-3, mentre que la multiplicació i la divisió són hiper-2. Això significa que les propietats de multiplicació i divisió no funcionen per als exponents. (a + b)² no és igual a² + b². Aquest és un error molt comú entre les persones.

Pas 4. Utilitzeu l'equació general a² + 2ab + b² per resoldre els vostres problemes.

Prenguem l'equació (x + 2)². En lloc de tornar a fer FOIL de nou, podem connectar el primer terme per a "i el segon terme per" b ",

Equació general: a² + 2ab + b²
a = x, b = 2
x² + (2 * x * 2) + 2²
Resposta final: x² + 4x + 4.
Sempre podeu comprovar el vostre treball realitzant FOIL a l’equació original, (x + 2) (x + 2). Rebràs la mateixa resposta cada vegada que es faci correctament.
Si es resta un terme, cal mantenir-lo negatiu a l'equació general.

Pas 5. Recordeu d’inserir tot el terme a l’equació general

Donat el binomi (2x + 3)², heu de recordar que a = 2x, no simplement a = 2. Quan teniu termes complexos, heu de recordar que tant la 2 com la x estan al quadrat.

Equació general: a² + 2ab + b²
Substitut de a i b: (2x)² + 2 (2x) (3) + 3²
Quadra cada terme: (2²) (x²) + 14x + 3²
Simplifiqueu la resposta final: 4x² + 14x + 9